Die Aufgabe scheint auf den ersten Blick wenig spektakulär:
139 + 17 =
Eine Additionsaufgabe, die Schülerinnen und Schüler am Übergang in die Sekundarstufe eigentlich sicher lösen können sollten. Doch gerade solche vermeintlich einfachen Aufgaben können wichtige Hinweise darauf geben, wie tragfähig grundlegende mathematische Vorstellungen tatsächlich sind.
Betrachten wir zwei fehlerhafte Lösungen: Ein Kind berücksichtigt den notwendigen Übertrag nicht korrekt (Abb. links). Ein anderes schreibt die beiden Zahlen beim schriftlichen Rechnen nicht stellenrichtig untereinander (Abb. rechts).
Beide Kinder machen also einen Fehler beim Addieren. Doch liegt das Problem tatsächlich beim Addieren?
Eine naheliegende Reaktion wäre, mit beiden Kindern die schriftliche Addition erneut zu üben: weitere Aufgaben rechnen, den Algorithmus erklären, Überträge markieren und das Verfahren automatisieren.
Genau hier lohnt sich jedoch ein diagnostischer Blick, denn beide Fehler können darauf hinweisen, dass die Schwierigkeiten eine Ebene tiefer liegen. Werden Zahlen beim schriftlichen Rechnen nicht stellenrichtig untereinander angeordnet oder kann ein Übertrag nicht nachvollzogen werden, fehlt möglicherweise ein tragfähiges Verständnis des dezimalen Stellenwertsystems. Hier reicht es nicht aus, ausschließlich den Additionsalgorithmus zu trainieren.
Damit ein Kind verstehen kann, warum bei der schriftlichen Addition ein Übertrag notwendig wird, braucht es ein tragfähiges Verständnis unseres dezimalen Stellenwertsystems. Für ein strukturorientiertes Stellenwertverständnis sind drei Prinzipien zentral (Häsel-Weide & Schöttler, 2021):
1. Teile-Ganzes-Prinzip
Eine Menge kann als Ganzes aufgefasst und flexibel in unterschiedliche Teile zerlegt werden. Umgekehrt lassen sich einzelne Teile wieder zu einem Ganzen zusammensetzen. Eine Zahl wie 139 kann beispielsweise als 100 + 30 + 9, aber auch in anderen Zerlegungen betrachtet werden.
2. Prinzip der fortgesetzten Bündelung
Jeweils zehn Einheiten einer Ordnung werden zu einer Einheit der nächsthöheren Ordnung gebündelt: Zehn Einer werden zu einem Zehner, zehn Zehner zu einem Hunderter, zehn Hunderter zu einem Tausender usw. Dieses Prinzip setzt sich innerhalb unseres dezimalen Stellenwertsystems fort.
3. Stellenwertprinzip
Der Wert einer Ziffer ergibt sich aus ihrer Position innerhalb einer Zahl. Die 1 in 139 repräsentiert beispielsweise einen Hunderter, die 3 in 139 hingegen drei Zehner.
Diese drei Prinzipien bilden die Grundlage dafür, den Übertrag beim schriftlichen Addieren nicht nur als Verfahrensregel, sondern als Folge der Struktur unseres Zahlensystems zu verstehen. Entstehen beim Addieren zehn oder mehr Einer, werden zehn Einer zu einem Zehner gebündelt. Dieser neu entstandene Zehner wird anschließend in der nächsthöheren Stelle berücksichtigt.
Zeigt ein Kind entsprechende Fehler, sollte die Fördermaßnahme daher nicht automatisch lauten: mehr schriftlich addieren.
Zunächst gilt es herauszufinden, ob das Kind das Bündeln und Entbündeln sowie die Bedeutung der einzelnen Stellen verstanden hat.
Hier kann die Arbeit mit geeignetem Stellenwertmaterial ansetzen. Zahlen werden dargestellt, Einer zu Zehnern gebündelt und Zehner wiederum zu Hundertern zusammengefasst. Entscheidend ist dabei nicht das bloße Legen einer Zahl. Vielmehr soll das Kind handelnd nachvollziehen und erklären können:
Warum können zehn Einer gegen einen Zehner getauscht werden? Warum entsprechen zehn Zehner einem Hunderter? Und was hat dieser Vorgang mit dem Übertrag beim schriftlichen Addieren zu tun?
Erst wenn diese Zusammenhänge verstanden sind, erhält auch der schriftliche Algorithmus seine mathematische Bedeutung.
Eine zentrale Aufgabe der Förderung in der Sekundarstufe besteht deshalb darin, nicht ausschließlich dort anzusetzen, wo ein Fehler sichtbar wird. Entscheidend ist die Frage, welche grundlegende mathematische Vorstellung hinter diesem Fehler möglicherweise noch nicht ausreichend entwickelt wurde.
Das bedeutet nicht, Inhalte der Primarstufe einfach zu wiederholen. Vielmehr geht es darum, fehlende Grundlagen gezielt aufzugreifen und tragfähige Vorstellungen aufzubauen, damit weiteres mathematisches Lernen gelingen kann.
Ein diagnostischer Blick verändert damit auch die Förderung. Aus der Feststellung
„Das Kind kann die schriftliche Addition nicht.“
wird die Frage:
„Welche mathematische Vorstellung fehlt noch, damit das Kind die schriftliche Addition verstehen und sicher ausführen kann?“
Für die konkrete Förderung stehen zwei Kartensätze zur Verfügung, die das Stellenwertverständnis gezielt aufgreifen und den Aufbau tragfähiger Vorstellungen zum Bündeln und zum Stellenwertprinzip handelnd unterstützen.
Literatur
Häsel-Weide, U. & Schöttler, C. (2021). Das Dezimalsystem verstehen - Bedeutung, Erkenntnisse, Anregungen. Zeitschrift für Mathematikdidaktik in Forschung und Praxis, 2. https://doi.org/10.48648/8qae-mb28