Gerade Divisionen durch zweistellige Zahlen stellen viele Schülerinnen und Schüler in der Sekundarstufe vor große Herausforderungen. Schnell entsteht der Eindruck, dass vor allem das schriftliche Divisionsverfahren noch nicht ausreichend beherrscht wird. Die naheliegende Reaktion ist dann häufig: den Algorithmus noch einmal erklären und weitere Aufgaben rechnen.
Doch wenn trotz wiederholten Übens keine Fortschritte sichtbar werden, braucht es einen genaueren diagnostischen Blick.
Denn um eine Aufgabe wie 223 : 17 erfolgreich lösen zu können, müssen zahlreiche mathematische Vorstellungen und Kompetenzen zusammenspielen. Schwierigkeiten beim schriftlichen Dividieren können daher ganz unterschiedliche Ursachen haben – und entsprechend unterschiedlich muss auch die Förderung ansetzen.
Eine wichtige Voraussetzung für das Dividieren ist zunächst ein tragfähiges Verständnis der Multiplikation. Das sichere Aufsagen von Einmaleinsreihen allein reicht dafür nicht aus. Entscheidend ist, ob Multiplikation als mathematische Struktur verstanden wurde und Beziehungen zwischen Multiplikationsaufgaben genutzt werden können.
Darauf aufbauend braucht es eine tragfähige Grundvorstellung der Division. Für das schriftliche Dividieren ist insbesondere der Gedanke des Messens bzw. Enthaltenseins bedeutsam:
Wie oft passt eine bestimmte Menge in eine andere hinein?
So kann beispielsweise 12 : 3 = 4 als „Die 3 passt viermal in die 12“ verstanden werden.
Bevor mit großen Zahlen gearbeitet wird, kann diese Vorstellung handelnd aufgebaut werden. Aus neun Einerwürfeln werden beispielsweise Dreiergruppen gebildet. Die Frage lautet nicht zunächst „Was ist 12 geteilt durch 3?“, sondern:
„Wie viele Dreiergruppen können gebildet werden?“
Das Kind bildet die Gruppen, zählt sie und erfährt dadurch unmittelbar das Enthaltensein.
Gleichzeitig lässt sich die Verbindung zwischen Multiplikation und Division sichtbar machen. Wird zunächst 3 · 4 mit Material dargestellt und anschließend dieselbe Menge wieder in entsprechende Päckchen zerlegt, bleibt die mathematische Struktur erhalten – lediglich die Fragestellung verändert sich. Division wird so als Umkehroperation zur Multiplikation erfahrbar.
Eine weitere Voraussetzung ist die Fähigkeit, bekannte Beziehungen auf größere Zahlen zu übertragen.
Am Zahlenstrahl kann beispielsweise zunächst gefragt werden:
Wie oft passt 5 in 10?
Zwei Fünferschritte führen von 0 bis 10. Anschließend wird dieselbe Frage mit größeren Zahlen gestellt:
Wie oft passt 50 in 100?
Auch hier sind es zwei Schritte. Die Zahlen sind größer geworden, die mathematische Beziehung ist jedoch dieselbe. Dies lässt sich in linearer Anordnung am Rechenstrich wie folgt verdeutlichen:
Solche Analogien sind für das spätere Dividieren bedeutsam. Beziehungen wie 25 : 5 = 5 und 250 : 50 = 5 können dabei helfen, nicht einzelne Aufgaben isoliert zu betrachten, sondern mathematische Strukturen wiederzuerkennen.
Genau an dieser Stelle wird deutlich, wie anspruchsvoll eine vermeintlich einfache schriftliche Division tatsächlich ist.
Bei 223 : 17 muss nicht nur ein Verfahren ausgeführt werden. Das Kind muss abschätzen können, wie oft 17 ungefähr in 223 enthalten ist. Dafür braucht es Vorstellungen von Größen, multiplikative Beziehungen und die Fähigkeit, bekannte Aufgaben zum Schätzen heranzuziehen.
Das Schätzen selbst ist damit bereits eine anspruchsvolle Kompetenz. Deshalb kann mit einfacheren Näherungen gearbeitet werden: Aus 300 : 49 wird näherungsweise 300 : 50 und daraus wiederum die leichter zugängliche Beziehung 30 : 5. Erst später können Überlegungen folgen wie: Wenn 20 ungefähr achtmal in 170 enthalten ist – wie oft könnte dann 17 hineinpassen?
Wenn 223 : 17 nicht gelingt, lautet die Fördermaßnahme deshalb nicht automatisch: mehr schriftlich dividieren. Vielmehr gilt es herauszufinden, an welcher Stelle die benötigten Grundvorstellungen noch nicht tragfähig sind:
Versteht das Kind die Multiplikation? Ist die Division als Umkehroperation verstanden? Gibt es eine Vorstellung vom Enthaltensein? Können Beziehungen zwischen kleinen und großen Aufgaben hergestellt werden? Gelingt es, Größen abzuschätzen und eine passende bekannte Aufgabe heranzuziehen?
Erst auf dieser Grundlage erhält auch das schriftliche Verfahren seine mathematische Bedeutung. Die vorbereitenden Schritte benötigen Zeit – sie bilden jedoch die Grundlage dafür, dass schriftliches Dividieren überhaupt verständig ausgeführt werden kann.
Mein besonderer Dank gilt Ronja Toutain vom Recheninstitut Graz, die uns die hier dargestellten Schritte des Förderaufbaus vorgestellt und deren konzeptionelle Zusammenhänge erläutert hat.